曹沖稱象與七橋問題

　　傳說,在公元前287年,敘拉古王國的國王打了勝仗,為了慶祝勝利,他決定獻給神一頂金子做的王冠。他找來一位珠寶商,給了他一些金子讓他制造一頂王冠。王冠制作得很漂亮,重量也跟原來國王給的黃金一樣重。但是國王還是懷疑珠寶商盜竊了一部分黃金,而在王冠中摻進了同等重量的白銀。他請阿基米德鑒定王冠是不是純金的,但不許拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天,都不得要領(lǐng)。一天,他跨入盛滿水的浴缸洗澡,看到水向外溢,頓時豁然開朗,興奮地喊:“我找到檢驗王冠的方法了”。

　　阿基米德由此發(fā)現(xiàn)了浮力定理,從而解決了王冠的檢驗問題。

　　在我國古代,也流傳一個利用浮力原理的“曹沖稱象”的故事。曹操的兒子曹沖小時候非常聰明。一天,有人送給曹操一只大象,曹操很高興,想知道這個龐然大物究竟有多重。但是到哪里去找這樣大的秤呢?魏國的謀臣武士們絞盡腦汁,也想不出一個辦法。小小的曹沖卻想出了一個妙法:他教人把大象牽到一只大木船上,刻下木船的吃水深度;然后把大象牽下船而向船上裝進一些石塊,讓木船吃水深度與原來的刻度一致時即停止繼續(xù)裝石塊。根據(jù)浮力原理,大象的重量和船上石塊的重量相等,而分散的石塊是可以用普通的秤稱出其重量的。“曹沖稱象”成為千古美談。

　　“曹沖稱象”的思想不僅僅是利用了物理學(xué)中的浮力原理,也利用了數(shù)學(xué)中一個極為普遍的思想:轉(zhuǎn)化思想。即把有待解決的問題,通過適當(dāng)?shù)姆椒?轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問題。

　　從某種意義上講,數(shù)學(xué)證明或數(shù)學(xué)計算中的每一步都是一種轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的一種思想�？梢院敛豢鋸埖卣f。轉(zhuǎn)化能力的高低是衡量一個人數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)志之一。

　　匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎曾經(jīng)對此作過一個有趣的比喻:

　　假如在你面前有煤氣灶、水壺、水籠頭和火柴,現(xiàn)在要燒一壺開水,你應(yīng)該怎樣做?

　　回答很簡單,誰都知道應(yīng)該怎樣做。在水壺中加滿水;點燃煤氣;把水壺放到煤氣灶上。

　　接著羅莎再提出問題:現(xiàn)在所有的條件都和原來一樣,只是水壺中已灌滿了水,這時你又應(yīng)該怎樣做?對于這一問題人們通常的回答往往是:那就只要點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上就可以了。但羅莎指出,這不是最好的回答,因為只有物理學(xué)家才會這樣做,而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水,因為他已經(jīng)把后一問題轉(zhuǎn)化為前一個問題了,而前一問題是已經(jīng)解決了的。

　　羅莎的比喻也許過于夸張,但它的確表明了數(shù)學(xué)思想方法的一個特點,善于使用轉(zhuǎn)化的方法。

　　在18世紀,東普魯士哥尼斯堡(今屬立陶宛共和國)內(nèi)有一條大河,河中有兩個小島。全城被大河分割成四塊陸地。河上架有七座橋,把四塊陸地像圖1那樣聯(lián)系起來。當(dāng)時許多市民都在思索如下的問題:一個散步者能否從某一陸地出發(fā),不重復(fù)地經(jīng)過每座橋一次,最后回到原來的出發(fā)地。

　　這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問題。

　　這個問題似乎不難解決,所以吸引了許多人都想來試試看,但是日復(fù)一日誰也沒有得出確定的答案。于是有人便寫信給當(dāng)時著名的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707 ～1783)求教。歐拉畢竟是數(shù)學(xué)家,他并沒有去重復(fù)人們已多次失敗了的試驗,而是首先產(chǎn)生了一種直覺的猜想:許多人千百次的失敗,也許意味著這樣的走法根本就不存在。于是歐拉把七橋問題進行了數(shù)學(xué)的抽象。用A、B、C、D四個點表示四塊陸地,用兩點間的一條線表示聯(lián)接兩塊陸地之間的一座橋,就得到如圖2那樣一個由四個點和七條線組成的圖形。

　　于是,七橋問題就轉(zhuǎn)化為一個象圖2那樣的圖形是否可以“一筆畫”的問題。什么叫“一筆畫”呢?那就是筆不準離開紙,一氣畫成整個圖形,但每一條線只許畫一次,不得重復(fù)。像圖2這樣的圖形能不能一筆畫呢?1736年歐拉證明了:答案是否定的。

　　為什么呢?

　　因為除了起點和終點之外,我們把其余的點稱為中間點。如果一個圖可以一筆畫的話,對于每一個中間點來說,當(dāng)畫筆沿某條線到達這一點時,必定要沿另一條線離開這點,并且進入這點幾次,就要離開這點幾次,一進一出,兩兩配對,所以從這點發(fā)出的線必然要是偶數(shù)條。因此,一個圖形能否一筆畫就有了一個判別準則:

　　一個可以一筆畫的圖形最多只能有兩個點(起點和終點)與奇數(shù)條線相連。

　　再看圖2中的四個點都是與奇數(shù)條(三條或五條)線相連的,根據(jù)這一判別準則,是不能一筆畫的。

　　從而證明了七橋問題所要求的走法是不存在的。

　　曾經(jīng)難倒許多人的七橋問題,經(jīng)過歐拉這一轉(zhuǎn)化,就像哥倫布豎雞蛋一樣,簡單而圓滿地解決了。

　　湖南教育出版社 歐陽維誠