卷三十

志第十八上歷四上

《開元大衍歷》演紀(jì)上元閼逢困敦之歲,距開元十二年甲子,積九千六百九十六萬一千七百四十算。

○一曰步中朔術(shù)

通法三千四十。

策實(shí)百一十一萬三百四十三。

揲法八萬九千七百七十三。

減法九萬一千二百。

策余萬五千九百四十三。

用差萬七千一百二十四。

掛限八萬七千一十八。

三元之策十五,余六百六十四,秒七。

四象之策二十九,余千六百一十三。

中盈分千三百二十八,秒十四。

朔虛分千四百二十七。

爻數(shù)六十。

象統(tǒng)二十四。

以策實(shí)乘積算,曰中積分。盈通法得一,為積日。爻數(shù)去之,余起甲子算外,得天正中氣。凡分為小余,日為大余。加三元之策,得次氣。凡率相因加者,下有余秒,皆以類相從。而滿法迭進(jìn),用加上位。日盈爻數(shù)去之。

以揲法去中積分,不盡曰歸余之掛。以減中積分,為朔積分。如通法為日,去命如前,得天正經(jīng)朔。加一象之日七、余千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。參之,得下弦。四之,是謂一揲,得后月朔。凡四分,一為少,三為太。綜中盈、朔虛分,累益歸余之掛,每其月閏衰。凡歸余之掛五萬六千七百六十以上,其歲有閏。因考其閏衰,滿掛限以上,其月合置閏�；蛞赃M(jìn)退,皆以定朔無中氣裁焉。

凡常氣小余不滿通法、如中盈分之半已下者,以象統(tǒng)乘之,內(nèi)秒分,參而伍之,以減策實(shí);不盡,如策余為日。命常氣初日算外,得沒日。凡經(jīng)朔小余不滿朔虛分者,以小余減通法,余倍參伍乘之,用減滅法;不盡,如朔虛分為日。命經(jīng)朔初日算外,得滅日。

○二曰發(fā)斂術(shù)

天中之策五,余二百二十一,秒三十一;秒法七十二。

地中之策六,余二百六十五,秒八十六;秒法百二十。

貞悔之策三,余百三十二,秒百三。

辰法七百六十。

刻法三百四。

各因中節(jié)命之,得初候。加天中之策,得次候。又加,得末候。因中氣命之,得公卦用事。以地中之策累加之,得次卦,若以貞悔之策加侯卦,得十有二節(jié)之初外卦用事。因四立命之,得春木、夏火、秋金、冬水用事。以貞悔之策減季月中氣,得土王用事。凡相加減而秒母不齊,當(dāng)令母互乘子,乃加減之;母相乘為法。

各以能法約其月閏衰,為日,得中氣去經(jīng)朔日算。求卦、候者,各以天、地之策,累加減之。凡發(fā)斂加時(shí),各置其小余,以六爻乘之,如辰法而一,為半辰之?dāng)?shù)。不盡者,三約為分。分滿刻法為刻。若令滿象積為刻者,即置不盡之?dāng)?shù),十之,十九而一,為分。命辰起子半算外。

○三曰步日躔術(shù)

干實(shí)百一十一萬三百七十九太。

周天度三百六十五,虛分七百七十九太。

歲差三十六太。

以盈縮分盈減、縮加三元之策,為定氣所有日及余。乃十二乘日,又三其小余,辰法約而一,從之,為定氣辰數(shù)。不盡,十之,又約為分。以所入氣并后氣盈縮分,倍六爻乘之,綜兩氣辰數(shù)除之,為末率。又列二氣盈縮分,皆倍六爻乘之,各如辰數(shù)而一;以少減多,余為氣差。至后以差加末率,分后以差減末率,為初率。倍氣差,亦倍六爻乘之,復(fù)綜兩氣辰數(shù)除,為日差。半之,以加減初末,各為定率。以日差至后以減、分后以加氣初定率,為每日盈縮分。乃馴積之,隨所入氣日加、減氣下先、后數(shù),各其日定數(shù)。其求朓朒仿此。冬至后為陽復(fù),在盈加之,在縮減之;夏至后為陰復(fù),在縮加之,在盈減之。距四正前一氣,在陰陽變革之際,不可相并,皆因前末為初率。以氣差至前加之,分前減之,為末率。余依前術(shù),各得所求。其分不滿全數(shù),母又每氣不同,當(dāng)退法除之。以百為母,半已上,收成一。冬至、夏至偕得天地之中,無有盈、縮。余各以氣下先后數(shù)先減、后加常氣小余,滿若不足,進(jìn)退其日,得定大小余。凡推日月度及軌漏、交蝕,依定氣;注歷,依常氣。以減經(jīng)朔、弦、望,各其所入日算。若大余不足減,加爻數(shù),乃減之。減所入定氣日算一,各以日差乘而半之;前少以加、前多以減氣初定率,以乘其所入定氣日算及余秒。凡除者,先以母通全,內(nèi)子,乃相乘;母相乘除之。所得以損益朓朒積,各其入朓朒定數(shù)。若非朔、望有交者,以十二乘所入日算;三其小余,辰法除而從之;以乘損益率,如定氣辰數(shù)而一。所得以損益朓朒積,各為定數(shù)。

南斗二十六,牛八,婺女十二,虛十,虛分七百七十九太。危十七,營室十六,東壁九,奎十六,婁十二,胃十四,昴十一,畢十七,觜觿一,參十,東井三十三,輿鬼三,柳十五,七星七,張十八,翼十八,軫十七,角十二,亢九,氐十五,房五,心五,尾十八,箕十一,為赤道度。其畢、觜觿、參、輿鬼四宿度數(shù),與古不同,依天以儀測(cè)定,用為常數(shù)。纮帶天中,儀極攸憑,以格黃道。

推冬至歲差所在,每距冬至前后各五度為限,初數(shù)十二,每限減一,盡九限,數(shù)終于四。當(dāng)二立之際,一度少強(qiáng),依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限增一,盡九限,終于十二,而黃道交復(fù)。計(jì)春分后、秋分前,亦五度為限。初數(shù)十二,盡九限,數(shù)終于四。當(dāng)二立之際,一度少強(qiáng),依平。乃距夏至前后,初限起四,盡九限,終于十二。皆累裁之,以數(shù)乘限度,百二十而一,得度;不滿者,十二除,為分。若以十除,則大分,十二為母,命太、半、少及強(qiáng)、弱。命曰黃、赤道差數(shù)。二至前、后各九限,以差減赤道度,二分前、后各九限,以差加赤道度,各為黃道度。

開元十二年,南斗二十三半,牛七半,婺女十一少,虛十,六虛之差十九太。危十七太,營室十七少,東壁九太,奎十七半,婁十二太,胃十四太,昴十一,畢十六少,觜觿一,參九少,東井三十,輿鬼二太,柳十四少,七星六太,張十八太,翼十九少,軫十八太,角十三,亢九半,氐十五太,房五,心四太,尾十七,箕十少,為黃道度,以步日行。日與五星出入,循此。求此宿度,皆有余分,前后輩之成少、半、太,準(zhǔn)為全度。若上考往古,下驗(yàn)將來,當(dāng)據(jù)歲差,每移一度,各依術(shù)算,使得當(dāng)時(shí)度分,然后可以步三辰矣。

以乾實(shí)去中積分,不盡者,盈通法為度。命起赤道虛九,宿次去之,經(jīng)虛去分,至不滿宿算外,得冬至加時(shí)日度。以三元之策累加之,得次氣加時(shí)日度。

以度余減通法,余以冬至日躔距度所入限數(shù)乘之,為距前分。置距度下黃、赤道差,以通法乘之,減去距前分,余滿百二十除,為定差。不滿者,以象統(tǒng)乘之,復(fù)除,為秒分。乃以定差減赤道宿度,得冬至加時(shí)黃道日度。

又置歲差,以限數(shù)乘之,滿百二十除,為秒分。不盡為小分。以加三元之策,因累裁之。命以黃道宿次,各得定氣加時(shí)日度。

置其氣定小余,副之。以乘其日盈、縮分,滿通法而一,盈加、縮減其副。用減其日加時(shí)度余,得其夜半日度。因累加一策,以其日盈、縮分盈加、縮減度余,得每日夜半日度。

○四曰步月離術(shù)

轉(zhuǎn)終六百七十萬一千二百七十九。

轉(zhuǎn)終日二十七,余千六百八十五,秒七十九。

轉(zhuǎn)法七十六。

轉(zhuǎn)秒法八十。

以秒法乘朔積分,盈轉(zhuǎn)終去之;余復(fù)以秒法約,為入轉(zhuǎn)分;滿通法,為日。命日算外,得天正經(jīng)朔加時(shí)所入。因加轉(zhuǎn)差日一、余二千九百六十七、秒一,得次朔。以一象之策,循變相加,得弦、望。盈轉(zhuǎn)終日及余秒者,去之。各以經(jīng)朔、弦、望小余減之,得其日夜半所入。

各置朔、弦、望所入轉(zhuǎn)日損益率,并后率而半之,為通率。又二率相減,為率差。前多者,以入余減通法,余乘率差,盈通法得一,并率差而半之;前少者,半入余,乘率差,亦以通法除之:為加時(shí)轉(zhuǎn)率。乃半之,以損益加時(shí)所入,余為轉(zhuǎn)余。其轉(zhuǎn)余,應(yīng)益者,減法;應(yīng)損者,因余。皆以乘率差,盈通法得一,加于通率,轉(zhuǎn)率乘之,通法約之,以朓減、朒加轉(zhuǎn)率,為定率。乃以定率損益朓?肉積,為定數(shù)。其后無同率者,亦因前率。應(yīng)益者,以通率為初數(shù),半率差而減之;應(yīng)損者,即為通率。其損益入余進(jìn)退日,分為二日,隨余初末,如法求之,所得并以損益轉(zhuǎn)率。此術(shù)本出《皇極歷》,以究算術(shù)之微變。若非朔、望有交者,直以入余乘損益率,如通法而一,以損益朓朒,為定數(shù)。

七日、初數(shù)二千七百一,末數(shù)三百三十九。十四日、初數(shù)二千三百六十三,末數(shù)六百七十七。二十一日、初數(shù)二千二十四,末數(shù)千一十六。二十八日,初數(shù)千六百八十六,末數(shù)千三百五十四。以四象約轉(zhuǎn)終,均得六日二千七百一分。就全數(shù)約為九分日之八。各以減法,余為末數(shù)。乃四象馴變相加,各其所當(dāng)之日初、末數(shù)也。視入轉(zhuǎn)余,如初數(shù)已下者,加減損益,因循前率;如初數(shù)以上,則反其衰,歸于后率云。

各置朔、弦、望大小余,以入氣、入轉(zhuǎn)朓朒定數(shù),朓減、朒加之,為定朔、弦、望大小余。定朔日名與后朔同者,月大;不同者,小;無中氣者,為閏月。凡言夜半,皆起晨前子正之中。若注歷,觀弦、望定小余,不盈晨初余數(shù)者,退一日。其望有交、起虧在晨初已前者,亦如之。又月行九道遲疾,則有三大二小以日行盈、縮累增、損之,則容有四大三小,理數(shù)然也。若俯循常儀,當(dāng)察加時(shí)早晚,隨其所近而進(jìn)退之,使不過三大二小。其正月朔有交、加時(shí)正見者,消息前后一兩月,以定大小,令虧在晦、二。定朔、弦、望夜半日度,各隨所直日度及余分命之。乃列定朔、弦、望小余,副之。以乘其日盈、縮分,如通法而一,盈加、縮減其副。以加夜半日度,各得加時(shí)日度。

凡合朔所交,冬在陰歷、夏在陽歷,月行青道;冬至、夏至后,青道半交在春分之宿,當(dāng)黃道東。立冬、立夏后,青道半交在立春之宿,當(dāng)黃道東南。至所沖之宿,亦如之。冬在陽歷、夏在陰歷,月行白道;冬至、夏至后,白道半交在秋分之宿,當(dāng)黃道西。立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,當(dāng)黃道西北。至所沖之宿,亦如之。春在陽歷、秋在陰歷,月行硃道;春分、秋分后,硃道半交在夏至之宿,當(dāng)黃道南。立春、立秋后,硃道半交在立夏之宿,當(dāng)黃道西南。至所沖之宿,亦如之。春在陰歷,秋在陽歷,月行黑道。春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,當(dāng)黃道北,立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,當(dāng)黃道東北。至所沖之宿,亦如之。四序離為八節(jié),至陰陽之所交,皆與黃道相會(huì),故月有九行。各視月交所入七十二候距交初中黃道日度,每五度為限,亦初數(shù)十二,每限減一,數(shù)終于四、乃一度強(qiáng),依平。更從四起,每限增一,終于十二,而至半交,其去黃道六度。又自十二,每限減一,數(shù)終于四,亦一度強(qiáng),依平。更從四起,每限增一,終于十二,復(fù)與日軌相會(huì)。各累計(jì)其數(shù),以乘限度,二百四十而一,得度。不滿者,二十四除,為分,若以二十除之,則大分,以十二為母。為月行與黃道差數(shù)。距半交前后各九限,以差數(shù)為減;距正交前后各九限,以差數(shù)為加。此加減出入六度,單與黃道相較之?dāng)?shù)。若較之赤道,則隨氣遷變不常。計(jì)去冬至、夏至以來候數(shù),乘黃道所差,十八而一,為月行與赤道差數(shù)。凡日以赤道內(nèi)為陰,外為陽;月以黃道內(nèi)為陰,外為陽。故月行宿度,入春分交后行陰歷、秋分交后行陽歷,皆為同名。若入春分交后行陽歷、秋分交后行陰歷,皆為異名。其在同名,以差數(shù)為加者加之,減者減之;若在異名,以差數(shù)為加者減之,減者加之。皆以增損黃道度,為九道定度。

各以中氣去經(jīng)朔日算,加其入交泛,乃以減交終,得平交入中氣日算。滿三元之策去之,余得入后節(jié)日算。因求次交者,以交終加之,滿三元之策去之,得后平交入氣日算。

各以氣初先后數(shù)先加、后減之,得平交入定氣日算。倍六爻乘之,三其小余,辰法除而從之,以乘其氣損益率,如定氣辰數(shù)而一,所得以損益其氣朓朒積,為定數(shù)。

又置平交所入定氣余,加其日夜半入轉(zhuǎn)余,以乘其日損益率,滿通法而一,以損益其日朓朒積,交率乘之,交數(shù)而一,為定數(shù)。乃以入氣入轉(zhuǎn)朓朒定數(shù),朓減、朒加平交入氣余,滿若不足,進(jìn)退日算,為正交入定氣日算。其入定氣余,副之,乘其日盈縮分,滿通法而一,以盈加、縮減其副,以加其日夜半日度,得正交加時(shí)黃道日度。以正交加時(shí)度余減通法,余以正交之宿距度所入限數(shù)乘之,為距前分。置距度下月道與黃道差,以通法乘之,減去距前分,余滿二百四十除,為定差;不滿者一退為秒。以定差及秒加黃道度、余,仍計(jì)去冬至、夏至已來候數(shù)乘定差,十八而一,所得依名同異而加減之,滿若不足,進(jìn)退其度,得正交加時(shí)月離九道宿度。

各置定朔、弦、望加時(shí)日度,從九道循次相加。凡合朔加時(shí),月行潛在日下,與太陽同度,是謂離象。先置朔、弦、望加時(shí)黃道日度,以正交加時(shí)所在黃道宿度減之,余以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔、弦、望加時(shí)所當(dāng)九道宿度也。其合朔加時(shí),若非正交,則日在黃道,月在九道,各入宿度雖多少不同,考其去極,若應(yīng)繩準(zhǔn)。故云:月行潛在日下,與太陽同度。以一象之度九十一、余九百五十四、秒二十二半為上弦,兌象。倍之,而與日沖,得望,坎象。參之,得下弦,震象。各以加其所當(dāng)九道宿度,秒盈象統(tǒng)從余,余滿通法從度,得其日加時(shí)月度。綜五位成數(shù)四十,以約度余,為分;不盡者,因?yàn)樾》帧?/p>

視經(jīng)朔夜半入轉(zhuǎn),若定朔大余有進(jìn)退者,亦加、減轉(zhuǎn)日。否則因經(jīng)朔為定。累加一日,得次日,各以夜半入轉(zhuǎn)余乘列衰,如通法而一,所得以進(jìn)加、退減其日轉(zhuǎn)分,為月轉(zhuǎn)定分。滿轉(zhuǎn)法,為度。

視定朔、弦、望夜半入轉(zhuǎn),各半列衰以減轉(zhuǎn)分。退者,定余乘衰,以通法除,并衰而半之;進(jìn)者,半余乘衰,亦以通法除:皆加所減。乃以定余乘之,盈通法得一,以減加時(shí)月度,為夜半月度。各以每日轉(zhuǎn)定分累加之,得次日。若以入轉(zhuǎn)定分,乘其日夜漏,倍百刻除,為晨分。以減轉(zhuǎn)定分,余為昏分。望前以昏、望后以晨加夜半度,各得晨、昏月。

各視每日夜半入陰陽歷交日數(shù),以其下屈伸積,月道與黃道同名者,加之;異名者,減之。各以加、減每日辰昏黃道月度,為入宿定度及分。

○五曰步軌漏術(shù)

爻統(tǒng)千五百二十。

象積四百八十。

辰八刻百六十分。

昏、明二刻二百四十分。

各置其氣消息衰,依定氣所有日,每以陟降率陟減、降加其分,滿百從衰,各得每日消息定衰。其距二分前后各一氣之外,陟、降不等,皆以三日為限。雨水初日,降七十八;初限,日損十二;次限,日損八;次限,日損三;次限,日損二;次限,日損后。清明初日,陟一;初限,日益一;次限,日益二;次限,日益三;次限,日益八;末限,日益十九。處暑初日,降九十九;初限,日損十九;次限,日損八;次限,日損三;次限,日損二;末限,日損一。寒露初日,陟一;初限,日益一;次限,日益二;次限,日益三;次限,日益八;末限,日益十二。各置初日陟降率,依限次損益之,為每日率。乃遞以陟減、降加氣初消息衰,各得每日定衰。

南方戴日之下,正中無晷。自戴日之北一度,乃初數(shù)千三百七十九。自此起差,每度增一,終于二十五度,計(jì)增二十六分。又每度增二,終于四十度。又每度增六,終于四十四度,增六十八。又每度增二,終于五十度。又每度增七,終于五十五度。又每度增十九,終于六十度,增百六十。又每度增三十三,終于六十五度。又每度增三十六,終于七十度。又每度增三十九,終于七十二度,增二百六十。又度增四百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。又度增五千三百四十。各為每度差。因累其差,以遞加初數(shù),滿百為分,分十為寸,各為每度晷差。又累其晷差,得戴日之北每度晷數(shù)。

各置其氣去極度,以極去戴日度五十六及分八十二半減之,得戴日之北度數(shù)。各以其消息定衰所直度之晷差,滿百為分,分十為寸,得每日晷差。乃遞以息減、消加其氣初晷數(shù),得每日中晷常數(shù)。

以其日處在氣定小余,爻統(tǒng)減之,余為中后分。不足減,反相減,為中前分。以其晷差乘之,如通法而一,為變差。以加、減中晷常數(shù),冬至后,中前以差減,中后以差加;夏至后,中前以差加,中后以差減。冬至一日,有減無加;夏至一日,有加無減。得每日中晷定數(shù)。

又置消息定衰,滿象積為刻,不滿為分。各遞以息減、消加其氣初夜半漏,得每日夜半漏定數(shù)。其全刻,以九千一百二十乘之,十九乘刻分從之,如三百而一,為晨初余數(shù)。

各倍夜半漏,為夜刻。以減百刻,余為晝刻。減晝五刻以加夜,即晝?yōu)橐娍?夜為沒刻。半沒刻加半辰,起子初算外,得日出辰刻。以見刻加而命之,得日入。置夜刻,五而一,得每更差刻。又五除之,得每籌差刻。以昏刻加日入辰刻,得甲夜初刻。又以更籌差加之,得五夜更籌所當(dāng)辰。其夜半定漏,亦名晨初夜刻。

又置消息定衰,滿百為度,不滿為分。各遞以息減、消加氣初去極度,各得每日去極定數(shù)。

又置消息定衰,以萬二千三百八十六乘之,如萬六千二百七十七而一,為度差。差滿百為度。各遞以息加、消減其氣初距中度,得每日距中度定數(shù)。倍之,以減周天,為距子度。

置其日赤道日度,加距中度,得昏中星。倍距子度,以加昏中星,得曉中星。命昏中星為甲夜中星,加每更差度,得五夜中星。

凡九服所在,每氣初日中晷常數(shù)不齊。使每氣去極度數(shù)相減,各為其氣消息定數(shù)。因測(cè)其地二至日晷,測(cè)一至可矣,不必兼要冬夏。于其戴日之北每度晷數(shù)中,較取長(zhǎng)短同者,以為其地戴日北度數(shù)及分。每氣各以消息定數(shù)加減之,因冬至后者,每氣以減。因夏至后者,每氣以加。得每氣戴日北度數(shù)。各因所直度分之晷數(shù),為其地每定氣初日中晷常數(shù)。其測(cè)晷有在表南者,亦據(jù)其晷尺寸長(zhǎng)短與戴日北每度晷數(shù)同者,因取其所直之度,去戴日北度數(shù)。反之,為去戴日南度。然后以消息定數(shù)加減之。

二至各于其地下水漏以定當(dāng)處晝夜刻數(shù)。乃相減,為冬、夏至差刻。半之,以加、減二至?xí)円箍虜?shù),為定春、秋分初日晝夜刻數(shù)。乃置每氣消息定數(shù)。以當(dāng)處差刻數(shù)乘之,如二至去極差度四十七分,八十而一,所得依分前、后加、減初日晝夜漏刻,各得余定氣初日晝夜漏刻。

置每日消息定衰,亦以差刻乘之,差度而一,所得以息減、消加其氣初漏刻,得次日。其求距中度及昏明中星日出入,皆依陽城法求之。仍以差刻乘之,差度而一,為今有之?dāng)?shù)。若置其地春、秋定日中晷常數(shù)與陽城每日晷數(shù),較其同者,因其日夜半漏亦為其地定春、秋分初日夜半漏。求余定氣初日,亦以消息定數(shù)依分前、后加、減刻分,春分后以減,秋分后以加。滿象積為刻。求次日,亦以消息定衰,依陽城術(shù)求之。此術(shù)究理,大體合通。然高山平川,視日不等。較其日晷,長(zhǎng)短乃同�？计渌�漏,多少殊別。以茲參課,前術(shù)為審。